“物联杯”大学生数学竞赛 | 数学竞赛不同题型及处理方法

校苑数模

2025年04月03日 10:09

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现“物联杯”大学生数学竞赛报名者可通过赛氪竞赛官网进行注册并报名，欢迎各院校参赛者自愿报名参加。

组委会为助力大学生学习、巩固大学数学学习内容，现开放大学数学学习题库，数学爱好者可免费添加学习。同时组委会将在竞赛结束前，持续更新数学学习经验分析。请持续关注比赛！

今日更新关于竞赛的赛题题型知识点及赛题大纲。

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今日更新关于：不同题型及处理办法

设f(X)是多项式，给了几个f(X)参与计算的极限的式子，求f(X)表达式：

（1）通过观察极限的值确定f(X)的最高次项

（2）确定完最高次项之后用待定系数法

涉及几何的问题或工程上的实际问题，要进行建模，构造函数

就算可能写不出表达式，也建立数学关系，因为有的时候可能只需要从概念上进行评判即可，不一定需要得到具体的值（看清题目要求的或者要证明的东西与哪个知识或定理类似）

一个好长的式子（有规律变化）极限值等于一个常数的证明题：

（1）夹逼定理（整体一起夹逼，巧用放缩）（只要是有规律的多项式，哪怕项数是有限个甚至比较少，都可以尝试夹逼定理）

（2）尝试化简式子本身，有时候可以加减相消或者裂项相消

求分式函数的间断点的类型：

（1）分式函数在其定义区间内一般都是连续的，所以间断点一般出现在使得分母为零的点上。要在没有约分的情况下，把所有使得分母为零的点求出来。

（2）判断是什么间断点一定要严格按照定义来

最大值和最小值函数：

解函数解析式：

利用“函数表示与变量字母无关的特性”，配凑出关于f(x)的多元一次方程组，最后解方程即可

等价替代需要注意的：

（1）式子中没有ln(x+1)，只有lnx，那么就用lnx~(x-1) 等但是使用此方法一定要注意x→什么数，满不满足等价替换的条件

（2）加减不能等效替换，一定不能。实在要用的话，就一定要先拆开，再一项项单独替换，而且一定要注意替换的过程中，每一项的极限值是否存在

证明数列单调：

（1）差值法 Xn+1 -Xn ≥0

（2）比值法 Xn+1 /Xn ≥1

证明数列单调已知一个条件，判断这个条件能不能推出函数可导或者已知函数可导，判断能不能推出某个条件明数列单调：

一定要写导数的表达式，从定义上判断

求反函数的导数：

（1）先求此函数本身的导数，反函数导数就是原函数导数的倒数

（2）等式两边同时对y求导即可（注意求反函数的导数不需要对调x和y，且最后结果的表达式要用x来表示）

证明函数在区间内有界：

即证该区间内 |f(x)|≤M（常数）