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题目给出函数f（t）在t≠0时一阶连续可导，且f(1)=0，要求找到函数f(x²-y²)，使得曲线积分∫L[y(2-f(x²-y²))]dx + xf(x²-y²)dy与路径无关，其中L是不与直线y = ± x相交的分段光滑闭曲线。这道题有以下几个关键思考角度：

一、利用曲线积分与路径无关的条件建立等式

step1:P(x,y)=y(2-f(x²-y²)),Q(x,y)=xf(x²-y²)。因为曲线积分与路径无关，根据曲线积分与路径无关的重要条件，就有。

step2:对P和Q分别求偏导数,然后代入等式，经过计算化简,由此得到(x²-y²)f'(x²-y²) + f(x²-y²) = 1。

涉及概念:

曲线积分与路径无关的条件：若在某区域内P(x,y),(Q(x,y) 具有一阶连续偏导数,且 ,则曲线积分∫_LPdx + Qdy在该区域内与路径无关。

二、通过换元法转化为微分方程并求解

step1: 记t=x²−y²，那么前面得到的等式就变成了微分方程tf′(t)+f(t)=1。观察这个方程，发现它可以变形为(tf(t))′=1。这是因为根据求导的乘法法则(uv)′=u′v+uv′，这里u=t，v=f(t)，tf′(t)+f(t)恰好就是(tf(t))′。

step2: 对(tf(t))′=1两边积分，可得tf(t)=t+C。

step3：已知f(1)=0，把t=1，f(1)=0代入tf(t)=t+C，就能求出C=−1。再把C的值代回tf(t)=t+C，解出f(t)=1−t1。

涉及公式:

求导的乘法法则(uv)′=u′v+uv′;积分基本公式,若F′(x)=f(x),则∫f(x)dx=F(x)+C（本题中对(tf(t))′=1积分，F(x)=tf(t)，f(x)=1）。

三、得出所求函数表达式

step1:因为前面设了t=x²−y²,把t=x²−y²代入f(t)的表达式，就得到f(x²−y²)=1−(1/(x²−y²))，这就是题目所要求的函数。

在这类题目中，关键是要牢记曲线积分与路径无关的条件，通过求偏导数建立等式 。当得到关于函数的等式后，要能灵活运用换元法转化为熟悉的微分方程求解 。理解每一步的原理和目的，多做练习，再遇到类似题目就能顺利解答啦！