思路一:利用数列的定义证明
一般来说,如果已知数列的表达式,欲证明数列的极限是给定的实数,那么我们通常采用定义法来证明数列收敛。
首先,我们再来回顾一下数列极限的概念。如果对于任意ϵ>0,都存在N,使得对任意n≥N都有|an−A|<ϵ,就称数列{an}收敛于A,或者称A是数列{an}的极限。所以如果不知道数列到底收敛到何值,或者难以得到数列的具体表达式,我们很难利用定义证明数列收敛。而用定义法证明数列收敛的思路是显而易见的,就是对于任意给定的ϵ,设法寻找相应的N,使得n≥N时候数列的每一项与A的差值小于给定的ϵ。N一般来说是可以用ϵ表示的。这里要注意,我们要做的事情并不一定是解不等式|an−A|<ϵ(如果这个不等式比较容易解,当然解不等式就可以找到需要的N),一般来说这个不等式并不是很好解。想办法利用表达式的特征找到N就好了。
首先,我们暂时还不知道对给定的ϵ,要取的N为何值。我们并没有直接获知需要的N的“特异功能”,所以先要进行分析,看看表达式的特征,通过分析发现合适的取值。如果直接解不等式很容易,那么只需要解这个不等式就行了。如果并不容易,我们要看能否作合适的放缩。倘若我们找到了一个表达式g(n),满足|an−A|≤g(n),而g(n)<ϵ这个不等式很好解,比如说现在找到了一个N,n≥N的时候g(n)<ϵ那么自然|an−A|≤g(n)<ϵ。虽然这个N并不一定是“最好的”,但是我们并不在乎这一点,只要找到就行了。至于具体怎么放缩还是要看式子的特征,难以统一归纳了。下面我们来看一些例子。
例1:证明limn→∞1n2=0
分析:对于给定的ϵ>0,需要找到使得|1n2−0|<ε成立的n的阈值。这里这个不等式并不难解,所以可以解出来n>√1ε,所以取N=[√1ε]+1就可以了(方括号表示取整数部分)。因为经过了这样的分析,接下的证明我们径直如是取N的值。
证明:∀ε>0取N=[√1ε]+1,当n≥N时,
|1n2−0|=1n2⩽1N2<1(√1ε)2=ε
故limn→∞1n2=0
这个证明中取的N是最理想的,它取得再小一些就不能保证n≥N时候那个不等式恒成立了。但是我们并不需要让N取得这么理想,比如我们可以做得粗糙一些,N=[1ε]+1也完全没有问题。我们的目的只是找到这样的N,找到就行,不需要很“理想”。
例2:证明:limn→∞10nn2+1=0
分析:对于给定ϵ>0,|10nn2+1−0|=10nn2+1<ε这个不等式不是很好解,但是我们可以进行放缩,把分母的1“扔掉”,从而寻找合适的N。即|10nn2+1−0|=10nn2+1<10n,取N=[10ε]+1即可。
证明:∀ε>0取N=[10ε]+1,当n≥N时,
|10nn2+1−0|=10nn2+1<10n<ϵ。
这就是一个通过放缩寻找N的例子。
数列的前有限项对数列收敛与否并没有太大影响,如果在n比较小的时候,我们较满意的放缩不成立,那么我们不妨缩小n的范围使得这个放缩成立。
例3:证明limn→∞5n3+n−42n3−3=52
分析:先作差观察,|5n3+n−42n3−3 - 52|=2n+72|2n3−3|=2n+72|n3+n3−3|
倘若n≥7,分子可以放大成3n,分母n3−3放缩过程可以“扔掉”,这是很理想的放缩,具体结果是|5n3+n−42n3−3 - 52|=2n+72|2n3−3|=2n+72|n3+n3−3|<3n2n3=32n2<2n,取N=[2ε]+1即可,最后可以放缩得很漂亮。但是n<7的时候这么放缩就不成立了。不过这个无关紧要,因为前面有限项不影响对数列是否收敛判断。我们可以通过取N为上面得到的式子和7中较大的来解决这个问题。
证明:∀ε>0,取N=max{7,[2ε]+1}
当n≥N时,|5n3+n−42n3−3 - 52|=2n+72|2n3−3|=2n+72|n3+n3−3|<3n2n3=32n2<2n⩽2N<ε
故limn→∞5n3+n−42n3−3=52。
思路二:利用数列单调有界证明
由单调有界原理,单调有界序列一定收敛。因此,可以通过证明数列单调有界来证明数列收敛。那我们什么时候用这个思路进行证明呢?一般来说,如果数列的单调性和有界性其一是显而易见的,我们只需要证明另外一点就可以说明数列收敛,这时用单调有界证明是可取的思路。用这条思路证明数列收敛,不需要知道极限值,反而往往是先证明数列收敛再令n趋于无穷大来求极限。另外也不需要知道数列明确的解析式。所以如果数列以递推公式给出,那么往往用这种思路证明数列收敛比较容易。证明数列单调,数列有界一般初等的方法完全可以解决,这里不予赘述。
例4:已知a1=√2,an=√an−1+2,证明数列{an}收敛。
分析:并不是所有人都会求这个数列的通项公式。但是我们可以通过证明数列单调有界来证明数列收敛。首先我们能发现数列有上界2,容易使用数学归纳法证明。然后就是证明数列单调了。
证明:先证明an<2.首先a1<2,假设ak<2,那么ak+1=√ak+2<√2+2=2
∴
再证明数列单调递增。令\(t = \sqrt {{a_n} + 2} ,\sqrt2
{a_{n + 1}} - {a_n} = \sqrt {{a_n} + 2} - {a_n} = t - ({t^2} - 2) = - (t + 1)(t - 2) > 0
\therefore数列单调递增
\therefore数列\{a_n\}收敛
证明数列收敛以后,我们可以求得数列的极限。
另外,还可以通过证明数列是柯西序列来证明数列收敛,后面级数敛散性经常利用柯西准则判别。由于高等数学要求没有这么高,本文只简单提及这种方法,有兴趣的读者可以自己研究。
具体怎么证明上界是2 2019-10-11 未知