思路一：利用数列的定义证明

一般来说，如果已知数列的表达式，欲证明数列的极限是给定的实数，那么我们通常采用定义法来证明数列收敛。

首先，我们再来回顾一下数列极限的概念。如果对于任意$\epsilon>0$，都存在$N$，使得对任意$n\geq N$都有$|a_n-A|<\epsilon$，就称数列$\{a_n\}$收敛于$A$，或者称$A$是数列$\{a_n\}$的极限。所以如果不知道数列到底收敛到何值，或者难以得到数列的具体表达式，我们很难利用定义证明数列收敛。而用定义法证明数列收敛的思路是显而易见的，就是对于任意给定的$\epsilon$，设法寻找相应的$N$，使得$n\geq N$时候数列的每一项与$A$的差值小于给定的$\epsilon$。$N$一般来说是可以用$\epsilon$表示的。这里要注意，我们要做的事情并不一定是解不等式$|a_n-A|<\epsilon$（如果这个不等式比较容易解，当然解不等式就可以找到需要的$N$），一般来说这个不等式并不是很好解。想办法利用表达式的特征找到$N$就好了。

首先，我们暂时还不知道对给定的$\epsilon$，要取的$N$为何值。我们并没有直接获知需要的$N$的“特异功能”，所以先要进行分析，看看表达式的特征，通过分析发现合适的取值。如果直接解不等式很容易，那么只需要解这个不等式就行了。如果并不容易，我们要看能否作合适的放缩。倘若我们找到了一个表达式$g(n)$，满足$|a_n-A|\leq g(n)$，而$g(n)<\epsilon$这个不等式很好解，比如说现在找到了一个$N$，$n\geq N$的时候$g(n)<\epsilon$那么自然$|a_n-A|\leq g(n)<\epsilon$。虽然这个$N$并不一定是“最好的”，但是我们并不在乎这一点，只要找到就行了。至于具体怎么放缩还是要看式子的特征，难以统一归纳了。下面我们来看一些例子。

例1：证明$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0$

分析：对于给定的$\epsilon>0$，需要找到使得$\left| {\frac{1}{{{n^2}}} - 0} \right| < \varepsilon$成立的$n$的阈值。这里这个不等式并不难解，所以可以解出来$n > \sqrt {\frac{1}{\varepsilon }}$，所以取$N = \left[ {\sqrt {\frac{1}{\varepsilon }} } \right] + 1$就可以了（方括号表示取整数部分）。因为经过了这样的分析，接下的证明我们径直如是取$N$的值。

证明：$\forall \varepsilon > 0$取$N = \left[ {\sqrt {\frac{1}{\varepsilon }} } \right] + 1$，当$n\geq N$时，

$\left| {\frac{1}{{{n^2}}} - 0} \right| = \frac{1}{{{n^2}}} \leqslant \frac{1}{{{N^2}}} < \frac{1}{{{{\left( {\sqrt {\frac{1}{\varepsilon }} } \right)}^2}}} = \varepsilon$

故$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0$

这个证明中取的$N$是最理想的，它取得再小一些就不能保证$n\geq N$时候那个不等式恒成立了。但是我们并不需要让$N$取得这么理想，比如我们可以做得粗糙一些，$N = \left[ {\frac{1}{\varepsilon }} \right] + 1$也完全没有问题。我们的目的只是找到这样的$N$，找到就行，不需要很“理想”。

例2：证明：$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} = 0$

分析：对于给定$\epsilon>0$，$\left| {\frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} - 0} \right| = \frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} < \varepsilon$这个不等式不是很好解，但是我们可以进行放缩，把分母的1“扔掉”，从而寻找合适的$N$。即$\left| {\frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} - 0} \right| = \frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} < \frac{{10}}{n}$，取$N = \left[ {\frac{{10}}{\varepsilon }} \right] + 1$即可。

证明：$\forall \varepsilon > 0$取$N = \left[ {\frac{{10}}{\varepsilon }} \right] + 1$,当$n\geq N$时，

$\left| {\frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} - 0} \right| = \frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} < \frac{{10}}{n}<\epsilon$。

这就是一个通过放缩寻找$N$的例子。

数列的前有限项对数列收敛与否并没有太大影响，如果在$n$比较小的时候，我们较满意的放缩不成立，那么我们不妨缩小$n$的范围使得这个放缩成立。

例3：证明$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{5n^3 + n - 4}}{{2{n^3} - 3}} = \frac{5}{2}$

分析：先作差观察，$\left| {\frac{{5n{}^3 + n - 4}}{{2{n^3} - 3}}{\text{ - }}\frac{{\text{5}}}{{\text{2}}}} \right| = \frac{{2n + 7}}{{2\left| {2{n^3} - 3} \right|}} = \frac{{2n + 7}}{{2\left| {{n^3} + {n^3} - 3} \right|}}$

倘若$n\geq7$，分子可以放大成$3n$，分母$n^3-3$放缩过程可以“扔掉”，这是很理想的放缩，具体结果是$\left| {\frac{{5n{}^3 + n - 4}}{{2{n^3} - 3}}{\text{ - }}\frac{{\text{5}}}{{\text{2}}}} \right| = \frac{{2n + 7}}{{2\left| {2{n^3} - 3} \right|}} = \frac{{2n + 7}}{{2\left| {{n^3} + {n^3} - 3} \right|}} < \frac{{3n}}{{2{n^3}}} = \frac{3}{{2{n^2}}} < \frac{2}{n}$，取$N = \left[ {\frac{2}{\varepsilon }} \right] + 1$即可，最后可以放缩得很漂亮。但是$n<7$的时候这么放缩就不成立了。不过这个无关紧要，因为前面有限项不影响对数列是否收敛判断。我们可以通过取$N$为上面得到的式子和7中较大的来解决这个问题。

证明：$\forall \varepsilon > 0$，取$N = \max \left\{ {7,\left[ {\frac{2}{\varepsilon }} \right] + 1} \right\}$

当$n\geq N$时，$\left| {\frac{{5n{}^3 + n - 4}}{{2{n^3} - 3}}{\text{ - }}\frac{{\text{5}}}{{\text{2}}}} \right| = \frac{{2n + 7}}{{2\left| {2{n^3} - 3} \right|}} = \frac{{2n + 7}}{{2\left| {{n^3} + {n^3} - 3} \right|}} < \frac{{3n}}{{2{n^3}}} = \frac{3}{{2{n^2}}} < \frac{2}{n} \leqslant \frac{2}{N} < \varepsilon$

故$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{5n^3 + n - 4}}{{2{n^3} - 3}} = \frac{5}{2}$。

思路二：利用数列单调有界证明

由单调有界原理，单调有界序列一定收敛。因此，可以通过证明数列单调有界来证明数列收敛。那我们什么时候用这个思路进行证明呢？一般来说，如果数列的单调性和有界性其一是显而易见的，我们只需要证明另外一点就可以说明数列收敛，这时用单调有界证明是可取的思路。用这条思路证明数列收敛，不需要知道极限值，反而往往是先证明数列收敛再令$n$趋于无穷大来求极限。另外也不需要知道数列明确的解析式。所以如果数列以递推公式给出，那么往往用这种思路证明数列收敛比较容易。证明数列单调，数列有界一般初等的方法完全可以解决，这里不予赘述。

例4：已知${a_1} = \sqrt 2 ,{a_n} = \sqrt {{a_{n - 1}} + 2}$，证明数列$\{a_n\}$收敛。

分析：并不是所有人都会求这个数列的通项公式。但是我们可以通过证明数列单调有界来证明数列收敛。首先我们能发现数列有上界2，容易使用数学归纳法证明。然后就是证明数列单调了。

证明：先证明$a_n<2$.首先$a_1<2$，假设$a_k<2$，那么${a_{k + 1}} = \sqrt {{a_k} + 2} < \sqrt {2 + 2} = 2$

$\therefore {a_n} < 2$

再证明数列单调递增。令\(t = \sqrt {{a_n} + 2} ,\sqrt2则$a_n=t^2-2$

${a_{n + 1}} - {a_n} = \sqrt {{a_n} + 2} - {a_n} = t - ({t^2} - 2) = - (t + 1)(t - 2) > 0$

$\therefore$数列单调递增

$\therefore$数列$\{a_n\}$收敛

证明数列收敛以后，我们可以求得数列的极限。

另外，还可以通过证明数列是柯西序列来证明数列收敛，后面级数敛散性经常利用柯西准则判别。由于高等数学要求没有这么高，本文只简单提及这种方法，有兴趣的读者可以自己研究。