数学A类：试卷共11道题目，总分100分，考验参赛者数学分析以及部分高等代数相关知识及计算技巧。
其中：
5道填空题，每题4分；
6道解答题，前四道每题12分，第五、六道解答题16分。
非数学B类：试卷共14道题目，总分100分，考验参赛者高等数学以及部分线性代数相关知识及计算技巧。
其中：
4道选择题，每题3分；
5道填空题，每题4分；
5道解答题，前三道每题12分，第四、五道解答题16分。
非数学C类：考验参赛者微积分相关知识及计算技巧。
其中：
5道选择题，每题3分，
5道填空题，每题5分，
5道解答题，每题12分。
附录竞赛大纲：
高等数学部分（微积分部分）
- 一元函数的极限与连续性
（1） 函数的基本概念与操作。
（2） 数列极限与函数极限的定义及其性质。
（3） 无穷小、无穷大，高阶无穷大、高阶无穷小。
（4） 极限的基本性质。
（5） 函数的连续性，连续的局部性质、整体性质。
- 一元函数微分学
（1） 导数和微分的概念。
（2） 导数的基本性质。
（3） 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。
（4） 高阶导数。
（5） 中值定理。
（6） 洛必达 (L ’Hospital) 法则。
（7） 微分学的应用（求极值、凹凸性、曲率、函数画图等）。
（8） 不定积分的计算（换元法、分部积分法、有理函数以及可化为有理函 数的不定积分的算法）。
- 一元函数积分学
（1） 不定积分的基本性质、基本积分公式。
（2） 定积分的概念和基本性质。
（3） 定积分中值定理。
（4） 微积分学基本定理、牛顿-莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式。
（5） 广义积分。
（6） 定积分的应用（面积、弧长、体积、物理应用）。
- 常微分方程
（1） 常微分方程的基本概念。
（2） 分离变量法、齐次微分方程、一阶线性微分方程、可降阶的高阶微分 方程。
（4） 线性微分方程解的性质及解的结构定理。
（5） 常系数齐次线性微分方程。
（6） 常系数非齐次线性微分方程。
（7） 欧拉方程。
（8） 微分方程的简单应用。
- 向量代数和空间解析几何
（1） 向量的概念与运算。
（2） 平面与直线。
（3） 曲面与曲线。
- 多元函数微分学
（1） 多元函数的概念。
（2） 二元函数的极限和连续的概念，连续函数的局部性质、整体性质。
（3） 微分，可微与可导的关系。
（4） 链式法则、隐函数的求导。
（5） 方向导数和梯度。
（6） 高阶导数与泰勒公式。
（7） 无约束的极值、条件极值。
（8） 几何应用（切平面、法线等）
- 多元函数积分学
（1） 二重积分和三重积分的概念及性质。
（2） 重积分的计算（重积分化累次积分、变量替换）。
（3） 曲线积分的定义及计算。
（4） 格林 (Green) 公式及其应用。
（5） 曲面积分的定义及计算。。
（5） 高斯 (Gauss) 公式、斯托克斯 (Stokes) 公式、散度和旋度的概念 及计算。
（6） 应用。
- 无穷级数
（1） 常数项级数的收敛与发散、级数的基本性质。
（2） 正项级数收敛性的判别法、交错级数的莱布尼茨判别法。
（3） 绝对收敛与条件收敛。
（4） 函数项级数的基本概念。
（5） 幂级数基本概念。
（6） 幂级数的分析性质。
（7） 幂级数展开。
（8） 傅立叶级数初步。
线性代数部分
- 行列式
（1） 行列式的概念和基本性质.
（2） 行列式按行 (列) 展开定理，行列式的计算.
（3） 范德蒙德 (Vandermonde) 行列式, 行列式的乘法规则.
- 矩阵
（1） 矩阵的概念, 单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵 和反对称矩阵以及它们的性质.
（2） 矩阵的线性运算、矩阵乘法、矩阵转置以及它们的运算规律, 方阵的 乘方与方
阵乘积的行列式及其性质.
（3） 逆矩阵的概念与性质、矩阵可逆的充分必要条件, 可逆矩阵与伴随矩 阵的关系.
（4） 矩阵的初等变换、初等矩阵的性质、矩阵的等价、矩阵的秩, 用初等 变换求矩阵的秩和求逆矩阵的方法.
（5） 分块矩阵及其运算.
- 向量
（1）n 维向量、向量的线性组合与线性表示.
（2） 向量组线性相关与线性无关的概念、性质及判别方法.
（3） 向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 求向量组的极大线性 无关组, 求向量组的秩.
（4） 向量组的等价, 矩阵的秩与其行 (列) 向量组的秩之间的关系.
（5）n 维向量空间、子空间、基底、维数、向量的坐标.
（6） 基变换与坐标变换, 过渡矩阵.
（7） 内积的概念, 线性无关向量组正交规范化的施密特 (Schmidt) 方法.
（8） 规范正交基、正交矩阵的概念与性质.
- 线性方程组
（1） 求解线性方程组的克拉默 (Cramer) 法则.
（2） 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件, 非齐次线性方程组有解 的充分必要条件,线性方程组解的性质和解的结构.
（3） 齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间, 求齐次线性方程组的基 础解系和通解.
（4） 非齐次线性方程组解的结构及通解.
（5） 用初等行变换求解线性方程组.
- 矩阵的特征值和特征向量
（1）矩阵的特征值和特征向量的概念及性质, 求矩阵的特征值和特征向量.
（2）相似矩阵的概念与性质, 矩阵可相似对角化的充分必要条件, 将矩阵 化为相似对角矩阵的方法.
（3） 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.
- 二次型
（1） 二次型及其矩阵表示, 二次型的秩, 合同变换与合同矩阵, 二次型的 标准形与规范形,惯性定理.
（2） 用正交变换与配方法化二次型为标准形.
（3） 正定二次型、正定矩阵及其判别法
数学分析部分
一、集合与映射
二、何为实数
1.实数的运算、序结构
2.实数的完备性的等价刻画：确界原理，闭区间套定理，有限开覆盖定理，
Bolzano-Weierstrass 聚点定理，致密性定理，数列极限 Cauchy 判则，数列的 单调有界定理，介值定理
三．数列极限
- 定义
- 基本性质
- 收敛性判则
四．一元函数极限
- 函数极限的定义
- 函数极限基本性质
- 复合函数的极限
- 两个重要的极限
- 函数极限的存在性的判则
- 无穷大量、无穷小量、有界量
五．一元连续函数
- 连续的局部性质
- 连续的整体性质
六．一元微分学
- 求导的法则
- 微分
- Fermat 引理、Rolle 定理、Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理
- L ’Hospital 法则
- 泰勒公式
- 函数极值
- 凹凸性
七．不定积分
- 换元法、分部积分法
- 有理函数不定积分、可化为有理函数的不定积分的不定积分
八．一元积分学
- 积分的定义
- 可积性判则
- 可积函数类
- 积分的基本性质
- 积分的第一、第二中值定理
- 微积分学基本定理、Newton-Leibniz 公式
- 积分的应用（几何应用、物理应用等）
九．反常积分
- 反常积分的定义
- 反常积分的收敛性判则
十．数项级数
- 基本定义
- 收敛性判则
- 绝对收敛与条件收敛
十一．函数列与函数项级数
1.一致收敛性及其判则
2.极限函数、和函数的分析性质
十二．幂级数
1.收敛半径、幂级数的分析性质
2.Abel 第一、第二定理 3.Taylor 级数
十三．Fourier 级数
基本定义、Dini 条件与逐点收敛的性态
十四．多元函数的极限与连续性
1.欧氏拓扑基本概念（开集、闭集、极限点、闭包、内点外点边界点、紧性、道 路连通性）
2.多元函数的极限的定义
3.多元函数连续性的定义
4.向量值函数的极限与连续性 5.极限、连续性的拓扑定义
6.连续映射的整体性质（保持紧性、道路连通性、Cantor-Heine 定理）
十五．多元函数微分学
1.可微与可导
2.Jacobian 矩阵 3.链式法则
4.方向导数与梯度
5.多元函数的 Taylor 公式 6.隐函数定理、反函数定理
6.条件极值
7.欧氏空间中曲面（子流形）的定义、曲面的参数化
十六．重积分
1.Jordan 可测集
2.重积分的定义
3.重积分化累次积分
4.变量替换公式
5.反常重积分
十七．曲线积分
1.第一型、第二型曲线积分的定义
2.格林公式及其应用
十八．曲面积分
1.第一型曲面积分的定义
2.曲面的定向、曲面的边界
3.欧氏空间中开集上的微分形式
4.第二型曲面积分的定义
5.第一型曲面积分与第二型曲面积分之间的关系
6.Gauss 公式、Stokes 公式、场论初步
十九.含参变量的积分
高等代数部分
1.多项式
带余除法、最大公因式、多项式的互素；不可约多项式、因式分解定理、重因式、实系数与复系数多项的因式分解，有理系数多项式不可约性的判定；多项 式函数、多项式的根、有理系数多项式的有理根求法。
2.行列式
行列式的定义、性质；行列式的余子式、代数余子式及展开定理；行列式的 计算方法；克莱姆法则；行列式乘法。
3.线性方程组
线性方程组的解法；n 维向量组的线性相关性；线性方程组有解的判定定理； 线性方程组解法和解的结构和解空间。
4.矩阵
矩阵的运算；初等变换与初等矩阵；可逆矩阵；分块矩阵；伴随矩阵；矩阵 的秩；矩阵的等价、合同、相似、正交相似；矩阵的可对角化问题。
5.二次型
二次型的标准形与合同变换；复数域与实数域上二次型的标准形、规范形；正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型及相应的矩阵类型。
6.线性空间
线性空间的概念；基、维数与坐标；基变换与坐标变换；子空间及其交与和、 直和；线性空间的同构。
7.线性变换
线性映射与线性变换的概念、运算；线性变换的矩阵表示；线性变换（矩阵）的特征多项式、特征值与特征向量；线性变换的值域与核；不变子空间；最小多 项式。
- λ-矩阵
λ-矩阵在初等变换下的标准形；不变因子、矩阵相似的条件；初等因子、 矩阵的若尔当标准形。
9.欧氏空间
向量内积；正交基（组）、标准正交基（组）、Schmidt 正交化方法；度量矩阵；正交变换与正交矩阵；正交补；对称变换与实对称矩阵；实对称矩阵的正 交对角化；最小二乘法。