差异 1：知识深度不同
【数学专业组 · 选择第8题】
设 A 为 3 阶矩阵，λ=2 是 A 的特征值，且 r(A−2E)=2，则 A 的 Jordan 标准形中属于 λ=2 的 Jordan 块的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】属于 λ 的 Jordan 块个数等于该特征值的几何重数，即解空间维数 n − r(A − λE) = 3 − 2 = 1。
【非数学专业组 · 选择第8题】
设 A、B 均为 n 阶方阵，则下列命题中错误的是（ ）
A. 若 A 可逆，则 r(AB)=r(B)
B. 若 r(AB)=r(B)，则 A 可逆
C. r(AB)≤min{r(A), r(B)}
D. r(A+B)≤r(A)+r(B)
【答案】B
【解析】A 正确：可逆矩阵左乘不改变秩；C、D 为矩阵秩的基本不等式，均正确。B 错误：取 A = [[1, 0], [0, 0]]，B = [[1, 0], [0, 0]]，则 AB = B，r(AB) = r(B) = 1，但 A 不可逆。B 项把"A 可逆"错当作 r(AB) = r(B) 成立的必要条件。
点评：同样考"矩阵的秩"，数专卷下探到 Jordan 标准形的结构理论，非数专卷停留在秩的运算性质——这正是"概念挖掘深度"的差别。
差异 2：计算取向不同
【数学专业组 · 计算第19题】
求幂级数 Σ n·xⁿ 的和函数 S(x)，并求 Σ n/2ⁿ 的值。
【答案】S(x) = x/(1 − x)²（|x| < 1）；∑ n/2n = 2。
【解析】当 |x| < 1 时，∑n=1∞ xn = x/(1 − x)。逐项求导得 ∑ nxn−1 = 1/(1 − x)²，两边同乘 x 得 S(x) = x/(1 − x)²。
取 x = 1/2（在收敛域内）：∑ n/2n = (1/2)/(1 − 1/2)² = (1/2)/(1/4) = 2。
【非数学专业组 · 计算第19题】
用 108 m² 钢板制造一个无盖长方体蓄水池（底面边长分别为 x、y，高为 z），问 x、y、z 各取何值时蓄水池容积最大？并求出最大容积。
【答案】x = y = 6 m，z = 3 m 时容积最大，最大容积 Vmax = 108 m³。
【解析】问题为条件极值：目标函数 V = xyz，约束条件 xy + 2xz + 2yz = 108（x, y, z > 0）。构造拉格朗日函数
L = xyz + λ(108 − xy − 2xz − 2yz)。
令偏导为零：∂L/∂x = yz − λ(y + 2z) = 0；∂L/∂y = xz − λ(x + 2z) = 0；∂L/∂z = xy − 2λ(x + y) = 0。
前两式相减得 (y − x)(z − λ) = 0；若 y ≠ x，则 λ = z，代入第一式得 2z² = 0，矛盾，故 x = y。再由第一、三两式：xz = λ(x + 2z)，x² = 4λx，得 λ = x/4；代回得 4xz = x² + 2xz，即 x = 2z。
代入约束：x² + 4xz = 3x² = 108，x² = 36，故 x = y = 6，z = 3。由实际意义（容积在边界上趋于 0），该唯一驻点即为最大值点，Vmax = 6 × 6 × 3 = 108 m³。
点评：数专卷考"从幂级数到数项级数"的抽象推导链；非数专卷把最值问题放进真实工程场景。非数专卷计算占比更高，但均属常规训练题型。
竞赛报名入口